ملخص قاعدة الإشارات في الرياضيات
(قاعدة الإشارات في الرياضيات)
أهلاً بكم طلاب وطالبات في موقع النابض alnabth بمعلوماته الصحيحة نقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه كما نقدم لكم الأن أعزائي طلاب وطالبات العلم من من الدروس المقترحة والمتوقعة لهذا العام تحضير وتحليل وملخصات شرح وحل أسئلة الاختبارات والواجب المدرسي ونماذج الامتحان ومنهجية الاجابة وكما عودناكم أعزائي الطلاب والطالبات أن نقدم لكم إجابة السؤال القائل __قاعدة الإشارات في الرياضيات
_وتكون اجابتة الصحية
قاعدة الإشارات في الرياضيات
ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة.
الجمع والطرح:
(-) + (-) = (-) ونجمع
(-) - (-) = (-) ونجمع
(+) + (+) = (+) ونجمع
(+) - (+) = (+) ونطرح
(-) + (+) = اشارة الأكبر ونطرح
الضرب والقسمة:
(+) . (+) = +
(-) . (-) = +
(+) . (-) = -
الإشارات
نحاول تقسيم القاعدة الى أربعة أجزاء ليسهل حفظها وتذكرها
1) في الجمع والطرح (+،-) إذا اختلفت الإشارات نأخذ إشارة الكبير ونطرح
مثلا -8 + 7 = -1 إشارة الكبير هو عدد ثمانية (-) ونطرح 8-7
2) في الجمع والطرح (+،-) إذا تشابهت الإشارات هناك عدة طرق
ا) (+5) + (-3) =(+5) - (+3) = +2
ب) (-7) - (+9) =(-7) + (-9) = -16
ج) (+5) - (+3) = +2
+5 - 3 = +2
3) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا اختلفت الإشارات نضع إشارة (-)
مثلا 5×-3 = -15
15÷(-3) = -5
4) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا تشابهت الإشارات نضع إشارة (+)
-4×-8 = +32
-32÷ (- 8 )= +4
الجمع.
يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7).
قاعدة الاشارات في الجمع والطرح
* (+ )+ (+) = +
مثال : 1 + 2 = 3
* (+) + ( _ ) = في اختلاف الاشارات نضع إشارة العدد الأكبر و (نطرح)
مثال :
5 - 3 = 2 >> هنا الأكبر الخمسة لذلك اشارة الناتج بالموجب
وفي الحالة الثانية
3 - 5 = -2 >> وايضاً هنا الاكبر الخمسة ولكنها جاءت سالبه فنضع اشارتها ونطرح عادي
* (-) + (-) = سالب ( - )
في تشابه الاشارات السالبة والعملية بينهم جمع (نجمع العددين) واشارة الناتج بالسالب (-)
مثال:
(-6) + ( -3 )=
-6 - 3 = -9
هنا أكيد استغربتوا يوم شفتو بين 6 و 3 سالب
وذلك لتطبيق عمليه الضرب بالأقواس وراح تفهموها أكثر بشرح اشارات الضرب بعد شوي
وأما شرح هذه المسألة فهو كما يلي :
(-6 ) {+ ( -3 ) }
= -6 تنزل عادي والشغل كله في القوس اللي بعده ، لازم تكون بينهم إشارة وحد مو ثنتين ونتيجة لتخالف الاشارات نطبق قاعدة الضرب ما بي القوسين الكبار في المثال
فـ (+) ضرب (-) = سالب
فتبقى إشارة -3 ( سالبه) وتتحول العملية من الجمع للطرح
-6 -3 >> ونظراً لتشابه الاشارات ننزل الاشارة الموجودة ونجمع
والناتج = -9
ثانيا : في الضرب :
* (+) X (+) = نضرب عادي والناتج +
مثال : 6 4x
= 24
* (+) X ( _ ) أو العكس ( _ ) X (+) = سالب ( - )
(ضرب) عددين مختلفين في الإشارة أولاً:
1) في الناتج نضع إشارة السالب (-) >> للمعلومية قاعده ثابته
2) نضرب عادي
مثال :
-5 3x
= - 15
* ( - )X ( - ) = +
( وضرب) عددين متشابهين في الإشارة السالبة تكون اشارة ناتجهما بالموجب ( + )
مثال
* (-4) x 36 = (9-) x
مثاله فـ حالة الضرب فقط . و ليس فـ حال الجمع و الطرح
(-2)*(-4)=+8
(-2)*(+4)=-8
(+2)*(+4)=+8
فـ حالة الضرب 1ذ1 اختلفت الاشارات يكون الجواب سال (-)
1ذ1 تشابهت الاشارات يكون الجواب موجب(+)
وفي حالة الجمع والطرح تكتب اشارة الأكبر وتطرح عادي
-7 + 10 = +3
+9 - 12 = -3
لماذا ناتج ضرب عدد سالب بعدد سالب آخر هو عدد موجب ؟
( - )X ( - ) = +
هل خطر هذا السؤال على بالك من قبل؟ ربما في الإعدادية أو عند تعلم الأساسيات الرياضية وربما لم يخطر باعتباره مسلمة لا تحتاج السؤال! في المقال التالي ستجد إجابةً على هذا السؤال، لذا عندما يسألك طفل في المرحلة السابعة عن ذلك سيحصل على إجابة مقنعة وقد يحفزه ذلك للدراسة وطرح أسئلة أكثر مما يجعل الرياضيات تبدو بالنسبة له ممتعة كما هي عليه في واقع الحال.
الإجابة هنا لها علاقة بمعرفة العمليات الرياضية الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة، بالإضافة إلى إدراك أنّ كل رقم له رقم معاكس يكون ناتج جمعهما صفر، على سبيل المثال؛ الرقم (3) معاكسه هو (3-) و مجموعهما يساوي الصفر أي (-3) + (3)=0.
لاحظ أنّه عند أخذ معاكس المعاكس أننا سنعود للرقم الأصلي،
ففي مثالنا السابق إذا أخذنا معاكس الـ(3-) أي – (3-) سنعود للرقم الأصلي وهو (3)،
وبالعكس أيضًا معاكس (3)- هو (3-).
والآن إذا غيرت من إشارات عوامل أي عملية ضرب فإنك بذلك ستغير إشارة ناتج هذه العملية،
أي أنّ (- عدد ما) × (عدد آخر) هو معاكس }(العدد) × (العدد الآخر){، هذا صحيح لأنه عند جمعهم مع بعضهم -أي العمليتين السابقتين- ستحصل على صفر وذلك باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع،
على سبيل المثال؛ (- 3) × (4-) + (3) × (-4)= (-3+3) × (-4)= (0) × (-4)=0 إذًا (- 3) × (-4) هو معاكس (3) × (4-) والذي هو بالتالي وباستخدام نفس الأسباب معاكس (3) × (4)
وبذلك فإنّ ناتج (- 3) × (-4) هو معاكس معاكس 12 أي معاكس (-12) أي أننا نعود للعدد (12).
وبهذا نجد أنّ حقيقة ناتج ضرب عددين سالبين هو عدد موجب مرتبط بحقيقة أنّ معاكس معاكس عدد موجب هو العدد الموجب نفسه،
بالطبع هذه أحد طرق تفسير هذا السؤال البسيط والذي قد يفسر بطرق توضيح مختلفة أخرى، ومن المهم معرفة أنّ مستويات أعلى من هذا السؤال تدرس في الجامعات في صفوف غرضها تغطية خواص العمليات الرياضية بشكل عام.
لماذا ضرب رقم سالب في رقم سالب يعطي رقم موجب؟!
( - )X ( - ) = +
اقترح العديد من الرياضيتين طرق لتصور ماذا يحدث عندما نضرب رقم سالب في رقم سالب آخر،
لتبسيط الفكرة ومعرفة لماذا يحدث هذا رياضيًا. بالطبع تصوير الأمر ليس سهلًا
لكننا سنحاول تبسيط الفكرة في هذا المقال.
الدين
أفضل طرق لتمثيل عملية السالب (الطرح) هو الدين. فلنفترض أنك مديون للبنك، وعليك دفع كل شهر 100 دولار لمدة ستة أشهر. فبعد الستة أشهر كم سيصبح ما معك من مال؟ بالطبع ستضرب عدد الأشهر فيما سيتم طرحه منك كل شهر (-100).
-100* 6 = -600
سالب 600، أي سينقص مالك ما قيمته 600 دولار.
لكن لنفترض أن (لم) تدفع لثلاثة أشهر بسبب هدية من البنك. أي ستصبح الأشهر سالبة (لم) تقم فيها بالعملية. فتصبح العملية
-100 * -3
لن نضع الناتج، فكر انت به، لم يتم خصم منك 100 دولار في 3 أشهر فهل سيكون هناك فائض؟ نعم بالطبع، لذا فالقيمة ستكون موجبة.
-100 * -3 = 300
الإثبات الرياضي لـــ ( - )X ( - ) = +
فلنحاول حساب ( -2 * -3) رياضيًا
-2 * -3 = (-1)(2)(-1)(3)
= (-1)(-1)(2)(3)
= (-1)(-1) * 6
السؤال هنا، ما قيمة -1*-1؟ إما ان تكون -1 أو +1، ولو قلنا انها +1
وهي الإجابة الصحيحة فسيكون الناتج 6.
لكن ماذا لو افترضنا أنه (-1*-1) = -1، ماذا سيحدث؟
احسب هذه العملية (-1)(1 + -1) بافتراض أن ضرب عددين سالبين يعطي عدد سالب.
(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)
(-1)(0) = -1 + -1
0 = -2
وبالطبع هذا امر خاطئ على الإطلاق فالصفر لا يساوي سالب 2.
أما إذا حسبتها بأن عدد سالب ضرب عدد سالب يعطي عدد موجب فسيكون الناتج
(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)
(-1)(0) = -1 + 1
0 = 0